Distribución empírica, pruebas de normalidad y proyección del precio
Propósito del análisis y estructura del documento.
El rendimiento logarítmico diario se define como
\[ r_t = \ln\!\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) \]
Los rendimientos logarítmicos son aditivos en el tiempo, propiedad que hace exacto el escalamiento por horizonte. Bajo el supuesto de independencia serial, la media y la volatilidad se anualizan como
\[ \mu_{\text{anual}} = 252\,\mu_{\text{diario}} \qquad \sigma_{\text{anual}} = \sqrt{252}\,\sigma_{\text{diario}} \]
La Tabla 1 resume la muestra completa y la Tabla 2 permite comparar los cambios entre años.
report_table(
return_moments(sample_returns$log_return),
caption = "Momentos de la muestra de estimación (2021-2025)."
)| Observaciones | Media diaria | Volatilidad diaria | Media anualizada | Volatilidad anualizada |
|---|---|---|---|---|
| 1,258 | 0.0008 | 0.0209 | 0.2001 | 0.3322 |
report_table(
return_moments_by_year(sample_returns),
caption = "Media y volatilidad, diarias y anualizadas, por año."
)| Año | Observaciones | Media diaria | Volatilidad diaria | Media anualizada | Volatilidad anualizada |
|---|---|---|---|---|---|
| 2021 | 253 | 0.0011 | 0.0163 | 0.2895 | 0.2592 |
| 2022 | 252 | 0.0002 | 0.0218 | 0.0388 | 0.3454 |
| 2023 | 251 | 0.0005 | 0.0275 | 0.1325 | 0.4369 |
| 2024 | 251 | 0.0010 | 0.0198 | 0.2490 | 0.3139 |
| 2025 | 251 | 0.0012 | 0.0176 | 0.2903 | 0.2789 |
¿Hay cambios estructurales? ¿Años con volatilidad particularmente elevada? ¿Periodos de mayor riesgo, y a qué corresponden?
El estadístico de Jarque-Bera contrasta conjuntamente el tercer y cuarto momento contra los de una normal:
La Tabla 3 formaliza el contraste y la Figura 1 permite comparar la densidad empírica con la normal ajustada.
\[ JB = \frac{n}{6}\left(S^2 + \frac{(K-3)^2}{4}\right) \;\sim\; \chi^2_{2} \]
jb <- jarque_bera_table(list(
"Rendimientos" = sample_returns$log_return,
"Precio" = sample_prices$adjusted,
"Logaritmo del precio" = log(sample_prices$adjusted)
))
report_table(jb, caption = "Prueba de Jarque-Bera sobre las tres series.")| Serie | Observaciones | Asimetría | Curtosis | Exceso de curtosis | Estadístico | Valor p | Rechaza normalidad |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rendimientos | 1,258 | -1.1301 | 23.837 | 20.8371 | 23,026.38 | 0 | TRUE |
| Precio | 1,258 | 0.6767 | 2.673 | -0.3271 | 101.62 | 0 | TRUE |
| Logaritmo del precio | 1,258 | 0.1420 | 2.349 | -0.6513 | 26.46 | 0 | TRUE |
mu <- mean(sample_returns$log_return)
sigma <- sd(sample_returns$log_return)
ggplot(sample_returns, aes(log_return)) +
geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 80,
fill = RISK_PALETTE[1], alpha = 0.7) +
stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mu, sd = sigma),
colour = RISK_PALETTE[2], linewidth = 0.7) +
scale_x_continuous(labels = label_percent(accuracy = 1)) +
labs(
x = "Rendimiento logarítmico diario", y = "Densidad",
caption = "Barra: distribución empírica. Línea: normal con la media y la desviación de la muestra."
)
\[ t = \frac{\bar{r}}{s/\sqrt{n}} \;\sim\; t_{\,n-1} \]
La Tabla 4 reporta la estimación y la decisión estadística correspondiente.
report_table(
mean_zero_test(sample_returns$log_return),
caption = "Prueba t de media diaria igual a cero."
)| Observaciones | Media | Error estándar | Estadístico | Grados de libertad | Valor p | Límite inferior | Límite superior | Rechaza media cero |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,258 | 0.0008 | 0.0006 | 1.345 | 1,257 | 0.1787 | -0.0004 | 0.002 | FALSE |
Interpretación en términos de eficiencia de mercado. No rechazar la hipótesis de media cero es el resultado interesante, no el decepcionante.
El movimiento browniano geométrico postula
\[ dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \]
cuya solución, por el lema de Itô, es
\[ S_t = S_0 \exp\!\left[\left(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right] \]
de modo que \(\ln S_t\) es normal y \(S_t\) es lognormal. El intervalo de confianza se construye sobre los cuantiles de la lognormal, no como una banda simétrica alrededor de la media: el precio no puede ser negativo y su distribución es asimétrica a la derecha.
La Tabla 5 presenta las proyecciones construidas con parámetros diarios.
gbm <- gbm_params(sample_returns$log_return)
s0 <- sample_prices$adjusted[which.max(sample_prices$date)]
report_table(
gbm_projection(s0, gbm$nu_daily, gbm$sigma_daily, params()$gbm$horizons_days),
caption = "Proyección con parámetros diarios. Horizonte en días hábiles."
)| Horizonte | Precio inicial (MXN) | Esperado (MXN) | Mediana (MXN) | Límite inferior (MXN) | Límite superior (MXN) | Confianza | Amplitud del intervalo (MXN) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 471 | 475.8 | 474.8 | 417.0 | 540.5 | 0.95 | 0.2601 |
| 20 | 471 | 480.7 | 478.6 | 398.4 | 574.9 | 0.95 | 0.3689 |
| 40 | 471 | 490.5 | 486.2 | 375.1 | 630.2 | 0.95 | 0.5246 |
La Tabla 6 expresa la misma proyección en horizontes anuales.
horizons_years <- params()$gbm$horizons_months / 12
report_table(
gbm_projection(s0, gbm$nu_annual, gbm$sigma_annual, horizons_years),
caption = "Proyección con parámetros anualizados. Horizonte en años."
)| Horizonte | Precio inicial (MXN) | Esperado (MXN) | Mediana (MXN) | Límite inferior (MXN) | Límite superior (MXN) | Confianza | Amplitud del intervalo (MXN) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.25 | 471 | 502.1 | 495.2 | 357.6 | 685.7 | 0.95 | 0.6626 |
| 0.50 | 471 | 535.1 | 520.6 | 328.5 | 824.9 | 0.95 | 0.9536 |
| 0.75 | 471 | 570.4 | 547.3 | 311.4 | 961.8 | 0.95 | 1.1884 |
| 1.00 | 471 | 608.0 | 575.3 | 300.0 | 1,103.3 | 0.95 | 1.3961 |
Cómo se amplifica la incertidumbre al ampliar el horizonte: el ancho del intervalo crece con \(\sqrt{t}\) mientras el valor esperado crece con \(t\).
¿Son normales los rendimientos? ¿Es el precio normal o lognormal? ¿Qué implica suponer normalidad al modelar riesgo, y qué riesgos introduce ese supuesto en la toma de decisiones? La respuesta debe apoyarse en los estadísticos calculados arriba, no en la teoría general.
Síntesis de hallazgos y validez del modelo teórico frente a los datos.