Cartera de seis emisoras: estimación, backtesting y optimización
Qué se estima y con qué propósito.
La cartera invierte $100,000 en cada una de las seis emisoras. Son pesos iguales en monto, no en número de acciones: las seis cotizan a niveles de precio muy distintos y una cartera de cien acciones de cada una sería una apuesta concentrada en la más cara.
La Tabla 1 presenta la composición monetaria inicial.
report_table(
portfolio$holdings,
caption = paste0("Composición inicial al ", portfolio$as_of, ".")
)| Ticker | Precio (MXN) | Peso | Valor (MXN) | Acciones | |
|---|---|---|---|---|---|
| 6749 | ALSEA.MX | 41.21 | 0.1667 | 100,000 | 2,426.6 |
| 9067 | BBAJIOO.MX | 57.33 | 0.1667 | 100,000 | 1,744.3 |
| 14223 | GAPB.MX | 354.53 | 0.1667 | 100,000 | 282.1 |
| 20985 | GMEXICOB.MX | 237.83 | 0.1667 | 100,000 | 420.5 |
| 27745 | ORBIA.MX | 20.81 | 0.1667 | 100,000 | 4,805.4 |
| 33724 | WALMEX.MX | 47.68 | 0.1667 | 100,000 | 2,097.3 |
El valor inicial de la cartera es \(S_0 =\) $600,000.
El cuantil se lee directamente de la distribución empírica, sin suponer ninguna forma funcional, de modo que las colas pesadas y la asimetría se arrastran tal como la muestra las exhibe.
La Tabla 2 cuantifica los escenarios y la Figura 1 sitúa visualmente los umbrales sobre la distribución de pérdidas y ganancias.
grid <- expand.grid(
confidence = params()$var$confidence,
horizon = params()$var$horizons_days
)
hist_var <- do.call(rbind, lapply(seq_len(nrow(grid)), function(i) {
var_historical(portfolio_r, grid$confidence[i], grid$horizon[i], portfolio$value)
}))
report_table(hist_var, caption = "VaR por simulación histórica.", digits = 2)| Método | Confianza | Horizonte | VaR (rendimiento) | VaR (MXN) | VaR (%) |
|---|---|---|---|---|---|
| historical (scale) | 0.95 | 1 | -0.02 | 10,773 | 0.02 |
| historical (scale) | 0.98 | 1 | -0.02 | 14,356 | 0.02 |
| historical (scale) | 0.99 | 1 | -0.03 | 20,209 | 0.03 |
| historical (scale) | 0.95 | 5 | -0.04 | 23,823 | 0.04 |
| historical (scale) | 0.98 | 5 | -0.05 | 31,627 | 0.05 |
| historical (scale) | 0.99 | 5 | -0.08 | 44,250 | 0.07 |
| historical (scale) | 0.95 | 10 | -0.06 | 33,412 | 0.06 |
| historical (scale) | 0.98 | 10 | -0.08 | 44,234 | 0.07 |
| historical (scale) | 0.99 | 10 | -0.11 | 61,608 | 0.10 |
| historical (scale) | 0.95 | 20 | -0.08 | 46,700 | 0.08 |
| historical (scale) | 0.98 | 20 | -0.11 | 61,587 | 0.10 |
| historical (scale) | 0.99 | 20 | -0.15 | 85,236 | 0.14 |
pnl <- portfolio$value * (exp(portfolio_r) - 1)
cuts <- vapply(params()$var$confidence, function(c) {
-var_historical(portfolio_r, c, 1, portfolio$value)$var_currency
}, numeric(1))
cut_labels <- data.frame(
confidence = paste0(100 * params()$var$confidence, "%"),
value = cuts,
stringsAsFactors = FALSE
)
ggplot(data.frame(pnl = pnl), aes(pnl)) +
geom_histogram(bins = 100, fill = RISK_PALETTE[1], alpha = 0.7) +
geom_vline(
data = cut_labels, aes(xintercept = value, colour = confidence),
linewidth = 0.6
) +
scale_colour_manual(values = unname(RISK_PALETTE[c(2, 4, 6)])) +
scale_x_continuous(labels = label_dollar(prefix = "$")) +
labs(
x = "Pérdida / ganancia diaria (MXN)", y = "Frecuencia",
caption = "Líneas verticales: VaR a un día por nivel de confianza."
)
Bajo normalidad, con \(\Sigma\) la matriz de covarianzas y \(w\) el vector de pesos:
\[ \sigma_p = \sqrt{w' \Sigma\, w} \qquad \text{VaR}_{h} = S_0\left(1 - e^{\,z_{1-c}\,\sigma_p\sqrt{h}}\right) \]
El escalamiento por \(\sqrt{h}\) supone independencia serial: la varianza crece linealmente en el tiempo y la desviación estándar con su raíz.
La Tabla 3 resume el VaR paramétrico y la Tabla 4 documenta la estructura de correlaciones utilizada.
covariance <- covariance_matrix(matrix_returns)
sigma_p <- portfolio_sigma(portfolio$weights, covariance)
param_var <- do.call(rbind, lapply(seq_len(nrow(grid)), function(i) {
var_parametric(sigma_p, grid$confidence[i], grid$horizon[i], portfolio$value)
}))
report_table(param_var, caption = "VaR paramétrico (varianza-covarianza).", digits = 2)| Método | Confianza | Horizonte | VaR (rendimiento) | VaR (MXN) | VaR (%) |
|---|---|---|---|---|---|
| parametric | 0.95 | 1 | -0.02 | 11,327 | 0.02 |
| parametric | 0.98 | 1 | -0.02 | 13,472 | 0.02 |
| parametric | 0.99 | 1 | -0.03 | 15,956 | 0.03 |
| parametric | 0.95 | 5 | -0.04 | 25,032 | 0.04 |
| parametric | 0.98 | 5 | -0.05 | 29,707 | 0.05 |
| parametric | 0.99 | 5 | -0.06 | 35,095 | 0.06 |
| parametric | 0.95 | 10 | -0.06 | 35,092 | 0.06 |
| parametric | 0.98 | 10 | -0.07 | 41,577 | 0.07 |
| parametric | 0.99 | 10 | -0.09 | 49,023 | 0.08 |
| parametric | 0.95 | 20 | -0.09 | 49,020 | 0.08 |
| parametric | 0.98 | 20 | -0.10 | 57,943 | 0.10 |
| parametric | 0.99 | 20 | -0.12 | 68,137 | 0.11 |
report_table(
as.data.frame(round(stats::cov2cor(covariance), 3)),
caption = "Matriz de correlaciones de los últimos seis meses."
)| ALSEA.MX | BBAJIOO.MX | GAPB.MX | GMEXICOB.MX | ORBIA.MX | WALMEX.MX | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ALSEA.MX | 1.000 | 0.186 | 0.152 | 0.279 | 0.218 | 0.166 |
| BBAJIOO.MX | 0.186 | 1.000 | 0.182 | 0.499 | 0.280 | 0.120 |
| GAPB.MX | 0.152 | 0.182 | 1.000 | 0.324 | 0.225 | 0.224 |
| GMEXICOB.MX | 0.279 | 0.499 | 0.324 | 1.000 | 0.450 | 0.163 |
| ORBIA.MX | 0.218 | 0.280 | 0.225 | 0.450 | 1.000 | 0.181 |
| WALMEX.MX | 0.166 | 0.120 | 0.224 | 0.163 | 0.181 | 1.000 |
Cada día se estima el VaR con la ventana previa únicamente, de modo que la serie es lo que el modelo habría reportado ese día. Estimarlo sobre la muestra completa y contar excepciones contra esa misma muestra no es un backtest.
La prueba de cobertura incondicional de Kupiec contrasta el número observado de excepciones contra el esperado:
\[ LR = -2\ln\frac{(1-p)^{\,n-x}\,p^{\,x}}{(1-\hat\pi)^{\,n-x}\,\hat\pi^{\,x}} \;\sim\; \chi^2_{1} \]
La Tabla 5 contrasta las excedencias observadas y esperadas.
confidence <- 0.99
rolling_hist <- rolling_var(portfolio_r, confidence, method = "historical")
rolling_param <- rolling_var(portfolio_r, confidence, method = "parametric")
backtest <- rbind(
cbind(metodo = "Histórico", backtest_var(portfolio_r, rolling_hist, confidence)),
cbind(metodo = "Paramétrico", backtest_var(portfolio_r, rolling_param, confidence))
)
report_table(backtest, caption = "Backtesting del VaR a un día al 99%.")| Método | Confianza | Observaciones | Excedencias esperadas | Excedencias observadas | Tasa de excedencias | Estadístico LR | Valor p | Rechaza el modelo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Histórico | 0.99 | 2,066 | 20.66 | 35 | 0.0169 | 8.321 | 0.0039 | TRUE |
| Paramétrico | 0.99 | 2,066 | 20.66 | 38 | 0.0184 | 11.781 | 0.0006 | TRUE |
Comparación de excepciones observadas contra esperadas y evaluación del desempeño. Demasiadas pocas excepciones reprueban la prueba igual que demasiadas: un modelo que nunca se excede no es conservador, está mal calibrado y es caro.
optimal <- optimise_min_var(matrix_returns)
comparison <- compare_allocations(
matrix_returns,
list(
"Pesos iguales" = portfolio$weights,
"VaR mínimo" = optimal$weights
),
value = portfolio$value
)
report_table(comparison, caption = "Cartera equiponderada frente a la de VaR mínimo.", digits = 2)Comparación de composiciones y análisis del cambio en riesgo y diversificación. Activar el chunk cuando nloptr esté instalado (renv::restore()).
La Tabla 6 presenta ambas medidas para la posición individual.
position <- params()$var$position_mxn
subject_returns <- returns[returns$ticker == subject(), "log_return"]
individual <- var_monte_carlo(
subject_returns,
confidence = params()$var$monte_carlo$confidence,
horizon = 1,
value = position
)
report_table(
individual,
caption = paste0("VaR y ES al 99% por Monte Carlo sobre una posición de ", fmt_mxn(position), " en ", subject(), "."),
digits = 2
)| Método | Confianza | Horizonte | Simulaciones | VaR (rendimiento) | VaR (MXN) | VaR (%) | ES (rendimiento) | ES (MXN) | ES (%) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| monte carlo (bootstrap) | 0.99 | 1 | 100,000 | -0.05 | 5,106 | 0.05 | -0.07 | 7,183 | 0.07 |
El Expected Shortfall es la pérdida promedio condicionada a haber rebasado el VaR:
\[ \text{ES}_c = \mathbb{E}\left[\,L \mid L \ge \text{VaR}_c\,\right] \]
Donde el VaR dice cuánto se pierde antes de entrar al peor 1%, el ES dice cuánto se pierde dentro de ese 1% — la pregunta que el VaR es estructuralmente incapaz de responder.
Comparación de metodologías y justificación de cuál se usaría en la práctica.